はじめまして。
＞住民税を支払う際に副業分も特別徴収として合算した分を本業の給与から天引きされるのですか。
→ これは自治体に聞かないとわかりません。
少なくとも副業の確定申告の際に住民税に関する事項の納付方法を普通徴収として提出していたのであれば、通常は副業分は特別徴収されないはずです。
※自治体によって対応変わることがあるので確認した方が良いです。
＞また、副業分は普通徴収で申請しているため、6月に郵送で届いた場合重複して支払う可能性があるのでしょうか
→ 自治体のミスが無い限り、二重に払うことは無いです。
＞私がどのような手段を取ればいいのか教えていただくと助かります。
→ A市の住民税係に電話をして、「住民税の徴収はどうなっていますか？副業分は普通徴収で申告したつもりなのですが」と聞いてください。
住民税は1月1日時点の住所で決まるので、引っ越しが2月ならB市は無関係です。