こんばんは。
ジャックラッセルテリアの12歳で10日前から下痢嘔吐があり、2日前から入院中ということですね。
確かに季節の変わり目のこの時期には消化器症状(下痢や嘔吐)で来院されるワンちゃんはよくいます。
吐き気が強く内服で吐く場合には入院して点滴、注射での治療になる場合もあります。
胃腸炎の他に調べておきたい病気は、膵炎や避妊してない場合は子宮蓄膿症などの消化器以外の内臓の病気だと思います。できればレントゲン、腹部エコー検査、血液検査ではCRP(炎症マーカー)、膵炎が疑われる場合には犬膵特異的リパーゼ(Spec-CPL)などを測定されることをお勧め致します。
白血球の数値が高いだけですと炎症や感染症の疑いがあるのは分かってもどこにどのような炎症なり感染なりあるかわかりませんのでもう少し上記のような検査をされてみられることをお勧め致します。
しかし胃腸炎の場合ですとまず自力で食べれるようになれば、ご自宅での看護に切りかえることもできますので、吐き気が治まっており元気な様子であれば、追加の検査をしつつ治療を継続されるのかよろしいかと思います。
同じ病院内で他の先生に変わっても基本的に治療内容は変わらないと思います。もしどうしても他の病院に転院される場合には治療経過報告書をいただくようにされるとよろしいかと思います。