9ヶ月の男の子です

対応をさせていただきます。よろしくお願いします。現在回答を作成していますので、もう少しお待ちください。

電話相談のお誘いは運営局が自動送信しているものですので、無視していただいて結構です。

ご心配のことと思います。
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膿性鼻汁が喉に落ちて後鼻漏の状態になっているものと思います。
膿性鼻汁の量が多いようですので、副鼻腔炎（蓄膿症）などの可能性が疑われる状態です。
苦しそうとのことですので、早急に治療を受けていただくべきだと考えます。
最寄りの総合病院の小児科の救急外来を受診していただき、診察・抗生剤や去痰剤含めた投薬を開始してもらうといいと思います。
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これからでもいいですので、最寄りの総合病院の救急外来を受診をご検討ください。
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以上、一般的な内容について書かせていただきました。追加のご質問・疑問点などがありましたら、ご連絡いただければ幸いです。

御返事ありがとうございます。

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「午前中のみやっている小児科のはいっている病院を見つけました。救急外来ではなさそうですが、救急の方がよろしでしょうか？」

→現在呼吸が苦しそうなどという事がなければ午前中の小児科受診して診察をでもいいと思います。苦しそうなら救急外来への受診もご検討ください。

御返事ありがとうございます。

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上記のどこでも問題はないと思います。

現在の状態が落ち着いているなら午前中に「上用賀世田谷通りクリニック」。呼吸が苦しそうということであれば「関東中央病院・成育医療センターの救急外来」への受診をご検討ください。