オペレーティングシステム
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何のプロダクトキーについてお尋ねなのでしょうか。
パソコンのメーカーと型番，Windowsや関係するソフトのバージョン等もお知らせください。
Officeのプロダクトキーがないということでしょうか。インストールCD自体はお手元におありなのでしょうか。もしおありであれば，それをご用意の上，以下の窓口で再発行をご依頼ください。例外的に一度だけ発行される可能性はあります。
Microsoft 技術サポート0***-**-****https://www.microsoftstore.com/store/msjp/ja_JP/DisplayHelpTechnicalSupportPage
DVDドライブの不具合についてですが，エクスプローラー上にドライブの表示自体はあるのでしょうか。
Office Home & businessが付属していたという事で，CDとプロダクトキーはセットで製品に添付されていたはずです。CDが無いという事であれば，当然プロダクトキーも無いという事になると思います。以下のページをご覧ください。「2010年夏モデル〜2012年10月発表モデル」となりますが，「Microsoft Office Home and Business 2010の場合 ディスクは、表面に「Microsoft Office Home and Business 2010」、「マイクロソフト オフィス ホーム アンド ビジネス 2010」と記載されている紙の入れ物に入っています。」と明記されています。
https://www.fmworld.net/cs/azbyclub/qanavi/jsp/qacontents.jsp?PID=1506-6304
その場合は，改めてOfficeをご購入いただくか，サブスクリプションのお申込みをなさっていただくかのいずれかになります。以下のページをご覧いただいて製品のラインアップをご確認ください。
Office 製品ラインアップhttps://products.office.com/ja-jp/buy/compare-microsoft-office-products
お尋ねいただいていることは十分に理解できております。「内容がうまく伝わって無い」ということはございません。「OfficeのプロダクトキーとCDを紛失」されているのであれば，再発行は不可能です。ご自身がそれをお持ちだったという事を証明する手段が何もないからです。CDだけでもお持ちであれば，一度限りはプロダクトキーは再発行なされます。
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