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プロダクトキー紛失とありますが、そのOfficeは過去に一度でもプロダクトキーを入れて使用したことがあるものですか？
一度でも入力して使用したものであれば、マイクロソフトアカウントのマイページから再インストールすることが可能です。
では恐らくマイクロソフトアカウントのマイページの「サービスとサブスクリプション」というページから再インストールできると思いますよ。
--------------------------------------------------必ず以下を読んでください。--------------------------------------------------遠隔接続にはご相談者様側で簡単な準備作業が必要です。お客様のパソコンより、お客様から下記作業を行ってください。（スマホからはできません）
①下記リンクをクリックしてください。http://www.justanswer.jp/remotedesktop/join.aspx?Session=af7804a4-c5d2-465e-bcdd-3597cb32eaa8
②「同意する」というボタンが画面下にあるのでクリックしてください。
③遠隔操作の実行ファイルをダウンロードされます。通常ファイルはダウンロードフォルダに保存されます。「Elsinore.ScreenConnect.Client」という名前のものです。
④そのファイルをダブルクリックして実行してください。
準備はこれだけになります。
送った通り、①～④を実行してください。