情報リクエストに返信がないので回答できずに困っておりますがその後いかがでしょうか。
13歳で周期性嘔吐症が始まるのは稀なケースのように感じます。
朝の頭痛や嘔吐であれば脳腫瘍の除外のために頭部CTは受けておかれた方がいいと思います。
他には、起立性調節障害、脳脊髄液減少症【部活や体育などで尻もちをつく、こける、頭を打つなどがきっかけでおこることがあります)、心因性などは鑑別に挙がると思います。
総合病院に紹介状を書いてもらって受診されてはどうかと思います。
起立性調節障害
https://www.saiseikai.or.jp/medical/column/od/
脳脊髄液減少症
https://www.ypch.gr.jp/department/neurosurgery/topics07.html
https://csf-japan.org/japanese/about.html
受診先の探し方
http://www.npo-aswp.org/catego2-01.html