ご心配のことと思います。
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37.3度の微熱と倦怠感という事ですね。
その他の自覚症状（咽頭痛・咳・呼吸困難・腹痛・嘔吐・下痢など）や嗅覚障害や味覚障害などはありますか？
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新型コロナウイルス感染であれば持続する高熱・頑固な咳・呼吸困難、嗅覚障害や味覚障害などを伴う事が典型的とされています。
上記のような症状が無く、微熱と倦怠感のみであれば、現時点では積極的に新型コロナウイルス感染を疑う印象は低いと思います。
症状からは感冒（風邪）の初期症状と考えて、1-2日くらいは市販の感冒薬で様子を見てもいいと思います。
感冒であれば2-3日くらいで自然に改善すると思われます。
明日や明後日になっても自覚症状が続くようなら、受診を再度ご検討いただいてもいいと思います。
このご時世、発熱だけで断る医療機関は減っていると思いますが、今回心療拒否だったという事であれば、別の内科か、最寄りの総合病院の内科外来を受診していただくといいと思います。
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以上、一般的な内容について書かせていただきました。追加のご質問・疑問点などがありましたら、ご連絡いただければ幸いです。