既にかなりの量の処方を受けているのですね。
経過としては元々気道過敏性が高く、風邪（貴方は風邪ではないとのことですが、鼻炎、喉の腫れ、少し鼻水、咳、痰ですので風邪のように思います。）をきっかけに、感染後咳嗽が続いているか、喘息が増悪したかのように思います。
感染後咳嗽の場合は数か月続く事もあります。
血が出るという事ですが、咳のし過ぎで粘膜がきれているのだろうとは思いますが、結核の検査はした方がいいですね。長引く咳、血痰、そして貴方自身はアドエアもシムビコートも効かないということで喘息に懐疑的な感情を持っている、ということであればレントゲンと痰の検査をして結核の除外はした方がいいでしょう。
エアコンのカビが原因と推察されているようですが、そのエアコンはクリーニング業者に掃除を依頼したのでしょうか？
原因がそのままであれば治りません。
喘息症状があったという記載などからも気道過敏性が高い事は間違いないと思いますので、環境を整える事も大事です。空気清浄器の設置、就寝時にはマスクをすること（抗原吸入を減らす、保湿）、寝具の頻回の洗濯乾燥（布団も洗濯乾燥、無理ならせめて掃除機に専用ノズルをつけて吸う）、ラグや絨毯は捨てる、などです。
ほかに、最近多いのが、柔軟剤など人工香料による咳症状です。柔軟剤や香りつき洗濯洗剤、ファブリーズなどの使用により咳が止まらない人が増えています。これらの使用がある場合は中止し、洗濯は洗濯石鹸や洗濯マグちゃんで行うのがいいでしょう。これをするだけで喘息症状が出なくなる方もいます。
他には、今の季節ですと除草剤による喘息増悪もよくあります。
気道過敏性の高い方はハウスダストや花粉だけでなく上記のようなものや、整髪料や制汗剤などのスプレーや揮発も咳を誘発しますので、そういったものを避けるのも必要かと思います。