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こんにちは。猫山と申します。
実際にお嬢様を診察・検査できないインターネット相談では診断行為は行えませんが、ご記載を拝読する限り、お嬢様は「蜂窩織炎」を起こされている可能性が高いと考えます。
【蜂窩織炎】
http://health.goo.ne.jp/medical/search/10OC1000.html↑↑↑クリックしていただくと図が開きます↑↑↑
皮膚の深いところから皮下脂肪組織にかけての細菌による化膿性炎症です。皮膚の常在菌が、毛穴や汗腺、小さな傷から、皮下脂肪組織に侵入して発症する病態ですので安静にして患部を冷やすとともに、抗生物質の服用あるいは点滴静注が必要となります。
皮膚感染症の中では重たい病気に含まれ、時には入院も要します。
眼の周りは皮下組織が疎（すかすか）で柔らかいために、感染が広がりやすい部位の一つです。
「それより下方に別な赤い痣のようなものが出来てそこから膿が出ている」というのはつまり、もともとはものもらいだった部位から、細菌が皮下組織を伝ってそこまで到達し、その部位で化膿を引き起こしているということです。
既にこれは眼科の問題ではなく、皮膚科の問題です。
抗生物質入りの点眼薬はものもらいの時点で使用していれば効果があったでしょうが、皮下組織にまで感染が広がっている（と推測される）現時点では、感染部位に抗生物質を送り届けるために経口服薬もしくは点滴投与が必要です。
その意味では「抗生剤を処方してもらい１日だけ３錠飲んだところ吐き気を模様してしまい飲めなかった」ところで次の手を打たなかったのは返す返すも残念です。
皮膚科を受診されて相談することをお勧めいたします。
恐らく手術にはなりませんが、入院しても点滴治療が必要になる可能性が高いと考えます（少なくとも日本ならばそうします）。
病院紹介のご要望は多いのですが、JustAnswerでは、大多数の専門家は特定の医療機関の紹介・推薦を行っていません。
医療カテゴリの専門家が、日本全国の全ての病院の内情を把握できているわけでもありませんし、相談者様を実際に診察しているわけでもありません。医師と相談者様の相性の問題もあります。そういう状況で、 こうしたサイトを通じた病院紹介は、病院側、相談者側の両方からクレーム を受ける可能性があるからです（実際、そういったトラブルは、他の専門家が手がけた事案も含めて過去に何回か起きています）。
JustAnswerは病院紹介サイトではありません。これに関してはご了承いただけますと幸いです。
以上、ご参考になれば幸いです。