ご質問いただき、ありがとうございます。
まず有責配偶者側からの離婚の申し出はすることができません。あなたが離婚しないと意思を示せば離婚できないことになります。
奥様が出した頭金は、婚姻前に持っていた貯蓄から拠出されたのでしょうか。それとも婚姻後に貯めた預金でしょうか。前者であれば奥様は頭金を引いた額での財産分与を主張できます。財産分与はあくまで話し合いで決めることになりますが、ローンをどちらの口座から返済しようと、その口座は共有財産であるため、基本等分することになります。売却するのであれば売却益を等分することになります。
手放さない選択をされるなら、所有者・ローンの支払い等について話し合うことになります。概ね住宅をされる方がローンを支払うことになります。財産分与に伴う共有持ち分の所有権移転登記も贈与税なしでできます（登録免許税は掛かりますが）。