初めまして、行政書士のito-gyoseiと申します。
こちらは『一問一答式の質問サイト』となっております。
ご質問内容、拝見させて頂きました。
私の分かる範囲でお答えさせて頂ければと存じます。
（電話相談の案内が自動的に表示されますが、ご不要の場合はお気になさらないでください）
退職に際していつまでに社員寮を退去すればいいのかですが、多くの場合、退職日から退去期限までに2週間ほどの猶予があり、即日の立ち退きで社員寮を追い出されることは滅多にありません。
退去期限について明確に規定している法律はなく、ほとんどの場合、「社内規定」により定められています。
規定で定められる退去までの期間は一般的に退職日から2週間になっていますが、会社ごとにその期間は異なるので社内規定を確認する必要があります。
過去には退職日に即時の退去を求められたという話も聞きますが、社内規約で定められている期間は滞在が認められます。また、次に住む住居が無い場合、数週間滞在期間を延ばす交渉は可能です。
ですがご相談者様の場合、どうも派遣元のあまりにしつこい干渉がご自身の障害になっていたご様子。
対応策として、労働基準監督署内の『総合労働相談コーナー』へご相談なさることをお勧め致します。
労働基準監督署は、会社に対して適切な助言や指導を行うことを業務としております。
ご一考ください。
労働基準監督署・総合労働コーナー↓
https://www.mhlw.go.jp/general/seido/chihou/kaiketu/soudan.html
また労働局では雇用主と従業者の仲裁を果たす「あっせん」という制度もあり、それでも協議がまとまらなくとも、「労働審判」で争う方法もあります。
ぜひ、正しい主張を通して頂ければと存じます。
個別労働紛争解決制度（労働相談、助言・指導、あっせん）↓
https://www.mhlw.go.jp/general/seido/chihou/kaiketu/index.html