初めまして、行政書士のito-gyoseiと申します。
こちらは『一問一答式の質問サイト』となっております。
ご質問内容、拝見させて頂きました。
私の分かる範囲でお答えさせて頂ければと存じます。
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養育費とはその名の如く「子供を養育するための費用」です。
同居して生活費を支払っていたのであれば子供様は養育されていたのであり、養育費は支払われていたと解することが出来るかと。
相手方は「養育費とは元妻が貰えるお金」との勘違いをしているようですが、元妻を養う義務は元夫にはなく、また、元妻（親権者）は『子供のための養育費を代理として受け取る窓口』に過ぎません。
当該根拠を以て差押えに対する抗弁をなさるのが宜しいかと存じます。