ご相談いただきまして誠にありがとうございます。初めまして、行政書士のSUPERTONTONでございます。それは、大変お悩みのことと思います。ご心痛お察し申し上げます。お話から、分かる範囲でご回答致します。
まず、愛犬と言われて家族のような関係になっている場合もございますが、可愛いペットでも、法律上は、モノとして扱われます。
車の持ち主が、飛び出しに気付いて、放置したなら、器物損壊罪もあり得ます。
基本的には、相手の保険から、対物賠償になると思いますが、飛び出しですので、過失相殺はあり得ます。
モノの損害の場合は、いくら可愛いペットでも、慰謝料は、認められません。
あくまでも、時価の販売価格などでの損害賠償になります。
確かに、飼い主は、納得がいかないでしょうが仕方がありません。
ご相談者様としては、販売価格を聞いてその何割かの賠償になります。
次に、気になるのは、切れたリードのことです。
いくらテンションが高くなっても切れるのは、問題です。
その販売会社に責任を追及するのもあり得ます。
いずれにしても、もめる場合は、民事調停の申し立てるのも手です。