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相手が離婚の翌日に婚姻届を出していたということですと、明らかに婚姻中から不倫(不貞行為)があったことが考えられます。不貞行為の事実が離婚の成立後に判明したときにも、不貞行為そのものが不法行為に当たりますので、貴方からも慰謝料請求できる可能性があります。現在貴方が慰謝料支払いをしている立場であれば相殺を交渉するということでいいでしょう。ただ、養育費については、お子様の権利であって、離婚理由に限らずお子様の養育のために義務化されているので、養育費については、支払い義務を免れることはできません。