子どもの保護者と幼稚園は、子どもの保育について契約を結んでいます。
そして幼稚園側は、この契約に基づいて、子どもが安全な環境で保育サービスを受けられるように注意する必要があります。
もし保育士などが監視監督を十分にしていなかったために、子どもが怪我などをした場合、保育園側は、この安全配慮義務違反に基づく損害賠償責任を負うことになります。
証拠としてはおっしゃられているように医師の診断書の他、ラインやメールでのやり取り、動画や音声データなどがあり、それらをもとに、これまでの経緯を時系列事にまとめておくといいと思います。(上記の質問をより詳細に)
証拠がまとまったら、お近くの弁護士に相談することをお勧めします。
※警察が関与する場合は、子どもが事故にあったなど、業務上過失致傷罪などの刑事事件の場合になります。