はじめまして、弁護士のエイティと申します。
契約は口約束でも有効ですが、書面にしていないと、多くの場合、後から言った言わないという争いになります。
その場合に、法的にどちらに立証する責任があるかは、どのような契約内容を主張したいのかによって変わってきます。
今回のご相談における契約内容がいまいちよく分からなかったのですが、要するに、ローンの残債をすべてBが支払うから、不動産の名義をB名義にしたい、ということですよね。
「二人の子供を財産分与と言うことで自分の持ち分を追加で登記してくれる」という意味がよくわかりませんし、「新しい夫を名義人に追加する」というのも、Aから「新しい夫」へ名義を移転する理由はないように思われます（「新しい夫」が持分を買い取るということであれば、それを拒否するというのもよく分かりません。
ただし、いったんBの単独名義になった上で、Bが「新しい夫」と共有にすることは全く自由ですから、このことにAが何か法律上言えることはないと考えられます。
なお、離婚後に再婚することは社会通念上、当然に予想されることであり、それを伏せているというのは何も契約違反ではないと考えます（再婚するかどうかを離婚する相手に知らせる義務は全くありません）。
法律的には、以上のように考えます。
Aは少々理不尽なことを言っている印象ですので、話合いでまとまらないようであれば、早めに離婚調停で裁判所を入れて話合いをした方がよいケースに思われます。
以上、ご参考になれば幸いです。