回答させていただきます。弁護士のbhsy202といいます。よろしくお願いいたします。
子どもが小さいうちの親権は母親というのは，よく言われていますが，裁判所で必ずそうかというと，そうでもないと思います。
そうでもない経験は，多くしています。
母親が親権者として不相当という具体的な内容，これを具体的に指摘して，この事実内容次第では，
こちらは両親含めて監護していける，ということをアピールし，親権をとることを目指していくことは十分できると思います。
監護できない具体的な事実を指摘すべきところなので，夜の仕事で子どもを預けられないとか，協力者がいないなどで，突発的なことに対応できないとか，家事ができない，子どもに粗暴な態度をとる，極端には子どもに手を出す，など，
単に離婚歴にとどまらない，子どもの面倒を見ていくことに対する具体的な不都合をしてきしていくべきです。
相手の婚姻歴は，弁護士であれば戸籍をとれますから，確認していくことはできます。
個人で請求しても，個人情報として拒否されるのではないでしょうか。