回答させていただきます。よろしくお願いいたします。
結論的には，全額とまでは行かないとしても，返金はあると思います。
調停の申立書は弁護士作成で提出しているでしょうか。そうすると，その程度の業務まではしているので，
何パーセント（あるいは数万円）かは引いて，残りの着手金の返還を求めても，おかしなことではありません。
病気ということで，やむを得ない事情ではありますが，現在進行している調停にも対応しなければなりませんので，
解任してほかの弁護士をつけるというのも致し方ないところですから，そのように申し出られてかまわないと思います。