ご担当者様、 お世話になります。 私の名義になっている墓地に生えていた木が、台風のために隣の敷地の駐車場に倒

質問を投稿していただき、ありがとうございます。司法書士のshihoushoshikunと申します。わかりやすい回答を心がけてはおりますが、回答にご不明点がある場合は、「評価」の前に返信機能でご質問下さい。
法律的に言うと、質問者様は撤去費用を負担しなければなりません。関係する法律は以下の条文です。
民法第１９９条 　占有者がその占有を妨害されるおそれがあるときは、占有保全の訴えにより、その妨害の予防又は損害賠償の担保を請求することができる。
民法第２３３条 　隣地の竹木の枝が境界線を越えるときは、その竹木の所有者に、その枝を切除させることができる。
２ 　隣地の竹木の根が境界線を越えるときは、その根を切り取ることができる。
倒れかかっている樹木が質問者様の名義の敷地内に植えられているということであれば、隣地の所有者は、質問者様に対して樹木の除去を求めることができると言えます。墓地を実質使用していないという状況でも、倒れたのが台風によるものであったとしても法律は敷地の所有者に責任があると結論付けています。
不明な点がありましたら補足しますので返信してください。