法律担当の特定社会保険労務士です。質問をご投稿いただき、誠にありがとうございます。
1か月とか3か月の契約社員ではなく、期間の定めのない雇用契約(一般的に正社員がこれに該当します)という前提で回答させていただきます。
退職は自由にすることができて会社の承諾は必要ありません。ただし、民法627条により、原則として退職日の2週間前に退職の意思表示をする必要があります。
退職の意思表示を会社にして、2週間が経過すれば労働契約は終了します。つまり、明日にでも退職届を提出すれば、9月20日まで働かずにすみます。