まず、その同棲が内縁関係といえるかどうかが問題になります。
内縁関係とは、単に彼氏彼女との同棲ではなく、外観的に夫婦同様の生活をしていて、ただ婚姻届が提出されていないに過ぎない場合を言います。これに該当すると認められる場合には、相続を除く多くの場面で、妻と同様の権利が認められることになります。
婚姻届がありませんから、これがあれば内縁関係だとずばり割り切ることはできず、個別事情を斟酌した上での総合判断となるのですが、住民票に｢内縁の妻｣として記載があるかどうかや、相互の親戚との付き合いが夫婦同然にされている、近所の人たちも夫婦として認識している、などの状況があれば、内縁の妻として権利が認められる可能性が高くなります。
内縁関係であると認められる場合には、夫婦の場合と同様に慰謝料請求が可能となります。この場合、対象となるのは、内縁の夫と、浮気相手の双方ですが、浮気相手に当たるご相談者様については、当該内縁関係を知ってのものであれば、という前提条件があります。
内縁ではなく、ただの同棲に過ぎないという場合には、いくら同棲期間が長かったとしても、法的にはそれぞれが独身の男女であり、自由な恋愛が認められていると考えられますから、慰謝料請求は認められません。
もっとも、法的手続きをしますといっても、何もしてこない場合もありますので、法律メンよりもまず、彼が今後どうするのか（同棲相手のところに戻るのか、あなたと付き合っていくのか）、ご相談者様がどうされたいのか（今後も付き合いたいのか、縁を切りたいのか）によって、相手の出方も大きく変わるものと思います。
法的手続きといっても、浮気というのは犯罪ではありませんので、相手にできる法的手段というのは慰謝料請求だけです。そして、こちらが積極的に対応しなければ、相手は裁判をして差し押さえをしない限り、権利はあっても取り立てることはできず、そのためには費用も時間もかかります。
従って、特に積極的に、相手方とのトラブルを早期解決したい事情があるなら別ですが、特段の事情がない限りは、今後の相手の出方を待ってからの対応でも遅くはないでしょう。
ご参考になりましたら幸いです。