こんにちは、行政書士のyorozuyaです。質問を投稿いただき誠にありがとうございます。ご質問への回答は下記の通りになります。わかりやすい回答を心がけておりますが。ご不明な点などありましたら、お気軽にご返信ください。
今回のケースが、不貞関係のない交際であったのなら、慰謝料を支払うような責任を相談者様は負う必要はないことになります。
それでも、不信を抱かせた責任を取る意味で職場を退職されるのであれば、それなりの罰を自分に課したことにはなると思います。
内容証明を送られても構わないとのことですが、相談者様のご主人に事の次第が発覚することについては、特に問題はないということでしょうか？
相手奥様の望みは、上司との交際を中止し、迷惑をかけたことを謝罪し、退職を約束することでしょうか？
相談者様から奥様に対して伝えたいことは、奥様が想像するような不貞な関係は一切ない、紛らわしい連絡や接触を中止し、奥様を勘違いさせたことへの謝罪、職場を退職するならその旨でしょうか？
ただ、本来、慰謝料を支払ったり、職場を退職する必要がない程度の交際関係であったなら、 相談者様から、不貞関係はなかったことと、今後は紛らわしい交際はしないことを伝えて出方を待ってもいいように思います。
以上、お答えします。