レントゲンは以上がなかったのであれば肺炎の可能性は低いです。
紹介状を書いてもらい総合病院の呼吸器科を受診するとよろしいでしょう。
長引く咳の原因として多いのは感染後咳嗽です。
貴方のように風邪をひいた後、咳だけが数週間から数か月続きます。
これの可能性は高いと思います。特効薬はないので日にち薬で自然に治るのを待つことになりますが、重篤な病気ではないので心配はいりません。
他の可能性は咳喘息や喘息です。
夜間から明け方にかけて咳が悪化します。風邪など呼吸器感染症を契機に成人で発症する人は増えています。
喘息や咳喘息でないかどうかは呼吸器科で調べて貰えます。
ステロイドの吸入薬を使用します。
マイコプラズマ肺炎についてはレントゲンで異常がないので可能性は低いですが、呼吸器科でCTを撮影すればレントゲンで見つからなかった肺炎が見つかることもあるので、総合病院の呼吸器科に紹介して貰うといいでしょう。