認知の子の養育費について質問です。 自分の性欲を満たしたかっただけで結婚は出来ないと言われ認知で長女を出産しました

内縁を再婚と同等に考えた場合、再婚して養子縁組したら扶養すべき第一次的義務者は養親と母親になります。
この場合、実父親が申し立てれば、減額や免除が認められる可能性は高いでしょう。
縁組しない場合でも、再婚相手の収入の一部を婚姻費用として権利者（母親）の収入ととらえ、その結果、養育費を取り決めたときの事情に変化があったものとして、義務者による養育費減額請求が認められる可能性があります。
新たに減額や免除の話し合いがなされて合意に至るなら、新たな約束が有効になりますが、作成した公正証書以降に新たな約束が合意されていないなら、公正証書をもとに差し押さえることは可能と言えます。
上のお子さんの父親は、現在のこちら側の家族の事情を知ったから養育費の支払いを止めたのでしょうか？
それとも、たまたま今月支払わなかったのでしょうか？
余談ですが、内縁の旦那さんは、前妻さんとの子供のほかに、こちら側にも扶養すべき子供が今年の１月に増えているのですから、前妻さんに払っている養育費を減額する事情が発生しています。
家計の負担を少しでも減らしたいとお考えなら、減額の話し合いを持った良いと思います。
公正証書をもとに差し押さえる場合、最初に公証人役場で執行文を付与してもらう必要があります。
その後に相手の住まいを管轄する地方裁判所に手続きすることになります。
手続き相談自体は最寄りの地裁でも受けてくれますので、公証人役場に問い合わせた後に一度最寄りの地裁に相談に行かれると良いと思います。
強制執行に掛かる必要な費用は、裁判所の手続きだけであれば切手代と印紙代併せて１万円くらいになります。
こちらも併せて窓口で相談されると良いと思います。

良い方向に解決することを願っています。