戸籍・離婚・家族親子関係
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双方が離婚したと思えば、離婚届を市（区）役所に出せば、離婚は一応成立しますが、養育費や親権、その他（慰謝料・財産分与）の話合いがつくまでは絶対に離婚届は出すべきではありません。
養育費を払わないというのは、法律違反ですから認められません。
離婚なさるなら、養育費を払うという離婚協議書を公証役場で作成してから離婚して下さい。 口約束や、私製の離婚協議書ですと払わない可能性が高いと思います。
それに同意しないようであれば、最寄りの家庭裁判所に離婚の調停を申し立ててみては如何でしょうか？（書類の書き方は家庭裁判所で教えてくれます。）
そこまではしないだろうと、タカをくくっているような印象を受けました。 養育費を当事者の話合いでは出さない可能性が高い方なので、調停の申し立てになる可能性が高い相手だと思います。
ご参考になりましたら、承諾をお願い致します。