先日、住んでいた部屋を解約し、本日立会いの下、鍵の返却をしました。 その際に退去時の部屋のクリーニング代と過去二回

契約書に更新料の支払いが明記されているのであれば、契約上の支払義務を負っています。
相手が通知・請求等をしていなくても、そのことは支払わないことを正当化する理由とはならないため、それを理由に支払いを拒否することは残念ながらできません。

もっとも、不動産の賃貸借契約の場合、更新手続きをしなくても、借地借家法という法律の規定により更新拒絶の手続きをしない限り自動的に契約は更新される（これを法定更新といいます）のですが、その際に契約上の更新料の支払義務があるかどうか争われることがあり、契約書の文言によっては支払わないで良いという結論になるケースは存在しますので、今回のご質問の状況でも、法定更新なので更新料を支払わないあるいは最初の１回のみ更新料の支払義務があるという主張をすることも可能でした。
しかし、清算書に「更新料二回分+ハウスクリーニング代を期日までに振り込む旨と、新しい住所、名前、電話番号、上記の内容を確認した」とお書きになったということは、その内容を承諾したという相手に有利な証拠となってしまいますので、いまから上記のような主張をして争っても勝ち目はあまり高くないでしょう。捺印が無いから承諾していなかったというのも難しいです。

上記のことをご理解いただいたうえで、それでも支払いをしたくない場合は更新の書類は書かずに「更新手続きをとっていなかったので法定更新されている。法定更新により期間の定めのない契約になっているので、更新料は最初の契約期間満了時の１回分のみなら支払う」という主張で強気に交渉してみてください。
これに応じるかどうかは相手次第です。