雇用・労働
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有給休暇中のアルバイトは二重在籍ということになりますが、二重在籍は法律的に違法ではありません。禁止されていないので大丈夫です。ただ、アルバイト先の雇用保険や社会保険の加入を遅らせてもらうということは必要になるでしょう。それ以外は何ら問題ありませんので、法律的にも大丈夫です。
業務委託なら尚更問題ありません。違法行為ではないので大丈夫です。
きちんとした覚書なので有効ですよ。もし払ってくれないなら裁判をすれば、これを証拠に払わせることができます。