ご返信ありがとうございます。
就業規則で「退職は１ヶ月前に書面で通知する」としているところが一般的ですが、法律上どれくらい前に通知すれば有効かは先程の民法627条が適用されます。
就業規則の定めはもっと早くに申し出て欲しいという会社の抑止的な効力程度でしかありません。
（会社の規則よりも民法が優先されるのは言うまでもありません）
退職届は提出日、退職日を記載しなければいけません。
記載していなければ退職届として認められないわけではありませんが、今回のようにいつから1か月後？という争いが生じるからです。
まずは会社の規則通り、4/8提出、5/10退職日を主張し、会社が「初めの退職届は退職日が記載していなかったので退職日が分からない（認めない）」というのであれば、本日届いている退職届を前提に民法627条の2週間前の有効性を主張すればよいでしょう。
＞部長でしょうか、社長でしょうか？課長でも良いのでしょうか
これら役職者であれば誰でも構わないのが一般的ですが、担当はそれぞれ会社によって当然異なります。
貴方の会社の担当（従業員の退職に関する責任者）を確認してください。
＞助言・指導してもらったら、5/10や5/17までに退職手続きをしてもらうのに間に合うのでしょうか？
すでに退職届を提出しているのですから、その退職届が有効であることを助言・指導してもらえばいいのです。