こんばんわ。
あまりにぐったりしているとか、呼吸が荒いとかがなければ特にそれで問題ないと思います。
スポットタイプのノミダニ予防薬はたまにあわない子がいて、そういった子の場合はアレルギー反応(下痢、嘔吐、発熱、脱毛、皮膚の炎症、痒み）などを起こすことがあります。
まだ滴下した部分が濡れていれば、少し蒸しタオルなどで拭き取ってもらった方がいいですが、そうでなければそのままにしておいて貰って構いません。
シャンプーなどをすると余計に体調を崩すかもしれないので。
病院では今の症状であればおそらく一般的な胃腸のケアになると思いま す。
今後皮膚のかゆみや赤みが出てこれば（おそらくこれから出てくることは少ないと思いますが）、炎症止めなども使うかもしれません。
明日も吐き気が続く場合にはやはり病院で治療をしてもらった方がいいでしょう。
万一、夜中にぐったりするようなことがあれば、夜間病院に行かれたほうがいいですが、今までそこまでひどい症状は見たことはありません。
明日にはほとんど普通に戻っているようであれば、特に病院に行かなくてもいいとは思いますが、今後はそれを使うのは避けた方がいいでしょう。
やはり効果や副作用を考えると、市販のノミダニ予防薬はあまりお勧めしません。
それから今晩はご飯は抜いておいて貰った方がいいです。