通常、新品のバッテリーでも13.5V程度なので、バッテリー電圧が14.4Vというのはエンジンが始動している状態ですよね?
エンジン停止時のバッテリー電圧と比重がバッテリーの良否を決めますが、まずエンジン停止時でバッテリー電圧が13V近くあるかっていうことと、イグニッションをスタートにしたときの(エンジンキーがONではなくSTARTの位置の状態)電圧降下が問題になります。
恐らくイグニッションをスタートにした状態で電圧を計ると10Vくらいまで降下しているのではないかなと思います。
その際に10.5V以上あれば、通常は何とかセルは回るはずです。